当然のことですが、「0.9999」は「1」ではありません。
「0.9999≠1」です。
では、「0.9999‥」と、小数点以下の「9」が無限に続くとしたらどうでしょう。
「0.9999‥は、1よりもほんの少しだけ小さい数」というのは間違いで、「0.9999‥＝1」が正解なのだといいます。
小数点以下の「9」が有限ならば、どこかで終わるので、いくら「9」が続いたとしても、「1」よりは小さくなります。
しかし、「9」が無限に続くとなると、それは、「1」と等しくなるというのです。
信じられないかもしれませんが、次のように考えてみると、なるほどと、納得してしまいます。
分数を使って「0.9999‥＝1」を証明
「1/3」を、少数点を使って表すと「0.3333‥」。
式にすると、「1/3＝0.3333‥」となります。
これは、間違いのない、確かな式です。
この、「1/3＝0.3333‥」の両辺に「3」をかけると、「1＝0.9999‥」となります。
「1/3＝0.3333‥」という、確かな式の両辺に「3」をかけた「1＝0.9999‥」も、間違いのない、確かな式だというわけです。
方程式を使って「0.9999‥＝1」を証明
方程式を使って証明することもできます。
「0.9999‥」を「X」とすると、「X＝0.9999‥」となります。
両辺に「10」をかけると、「10X＝9.999‥」。
「9.999‥＝9+0.999‥」なので、「10X＝9+0.999‥」。
「X＝0.9999‥」としたので、「10X＝9+x」。
Xを、左辺に移項すると、「10x-x=9」→「9X=9」となり、「X=1」ということになります。
最初に、「X＝0.9999‥」としているので、「1＝0.9999‥」となるわけです。
まとめ
ちょっと難しいように感じるかもしれませんが、「分数」なら小学校、「方程式」なら中学校で習うレベルなので、考え方としては、そんなに難しいものではありません。
何となく、狐につままれたような気もしますが‥。
「0」のあとの小数点以下に「9」が続く場合、続く個数が有限の場合は、どんなに続いても「1」より小さくなりますが、無限に続く場合は、「1」に等しくなるというわけです。
つまり、「1＝0.9999‥」。
「無限」というのは、理解しずらい概念です。
